W1)

a) Laut Fertigverpackungsverordnung beträgt die zulässige Höchstabweichung bei Verpackungen bis 50 g maximal 9%, bei größeren nur 3%.

Welches Mindestgewicht hätte dann eine 50g - Packung und eine 200g - Packung?

b) Die Arbeiterkammer stellte bei ihrer Überprüfung bei den 50g - Packungen ein durchschnittliches Gewicht von 50,5g und eine Standardabweichung von 1,5g fest.

Wie viele Prozent der 50g - Packungen waren untergewichtig?

Wie viele Prozent der 50g -Packungen waren unter der zulässigen Höchstabweichung?

c) Ein Lebensmittelhändler möchte selbst kontrollieren und nimmt eine Stichprobe von 10 Stück 50g - Packungen.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass

c2) genau 2 Packungen

c2) weniger als drei Packungen untergewichtig sind?

d) Wie viele 50g -Packungen müsste er mindestens prüfen, damit die Wahrscheinlichkeit mindestens eine untergewichtige Packung zu finden, 90% übersteigt?

e) Welche Verteilung haben Sie für den Punkt c) verwendet?

Begründen Sie Ihre Wahl mit zwei Argumenten.

W2) Die Abteilung Marktforschung einer bekannten Werbeagentur entschließt sich, die Werbewirksamkeit einer Zeitungsanzeige für das Produkt „Waschdich" anhand von Verkaufsdaten zu messen.

Die Agentur zieht eine einfache Stichprobe von 200 Familien, die diese Tageszeitung, in der die Anzeige erschienen ist, abonniert haben, und führt nach 2 Wochen Werbung eine Befragung durch:

 

Abonnenten, die die Anzeige

für „Waschdich"

 

Anzahl der Käufer

 

Anzahl der Nichtkäufer

 

gelesen haben

nicht gelesen haben

 

6

11

 

54

129

a) Testen Sie, ob die Zeitungsanzeige sich auf das Kaufverhalten ausgewirkt hat. (Irrtumswahrscheinlichkeit: 1%)

Führen Sie die Berechnungen mit Excel und am Arbeitsblatt durch. Begründen Sie Ihre Lösung mathematisch.

b) Um eine weitere Marktanalyse durchzuführen, entschließt man sich in einem großen Supermarkt die täglichen Verkaufszahlen dieser Seife durch 3 Monate hindurch zu erheben:

Tägliche Verkaufszahlen (Stück)     30 - 40       40 - 50        50 - 60       60 - 70      70 - 80 __________________________________________________________________________

Anzahl der Tage                                  11              20               35              18               6

b1) Berechne die durchschnittliche tägliche Verkaufszahl und die Standardabweichung?

b2) Zeichnen ein Histogramm.

Berechne, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass die tägliche Verkaufszahl

c) von 75 Stück überschritten wird.

d) von 50 Stück unterschritten wird.

e) zwischen 50 und 75 Stück verkauft werden.

f) Argumentiere, welche Verteilung für die Berechnung von c) - e) zur Anwendung kommt.

Begründe mathematisch, warum du diese Verteilungsfunktion verwendet hast.

W3) Beim Kauf eines Faxgerätes wird jedem Kunden ein Fragebogen im Rahmen einer jährlichen Kundenumfrage zur Bewertung des Produktes mitgegeben.

Eine gestellte Frage testet die Zuverlässigkeit des gekauften Gerätes. Dabei ergab sich für das Jahr 2010 folgende Verteilung:

 

Bewertung der Zuverlässigkeit

 

männlich

 

weiblich

 

schlecht

mittelmäßig

gut

 

14

62

199

 

30

84

236

Beantworte folgende Farge: Besteht ein Zusammenhang zwischen der Bewertung der Zuverlässigkeit und dem Geschlecht des Käufers? (Irrtumswahrscheinlichkeit: 5%)

Führen die Berechnungen mit Excel und am Arbeitsblatt durch. Begründe deine Lösung mathematisch.

Erfahrungsgemäß tritt mit der Wahrscheinlichkeit von 2% während der Garantiezeit von einem Jahr ein Fehler auf.

b) Ein Händler verkauft 20 Geräte.

Berechne die Wahrscheinlichkeit,

b1) dass 3 Geräte defekt sind.

b2) weniger als 4 Geräte defekt sind?

b3) Wie viele Geräte müsste man prüfen, damit die Wahrscheinlichkeit mindestens ein defektes Gerät zu haben, 95 % übersteigt?

c) Ein Großmarkt verkauft 500 Faxgeräte. Berechne, in welchem Bereich die Anzahl der Fehler mit 90%-iger Wahrscheinlichkeit liegt.

d) Argumentiere, welche Verteilungen du die Berechnungen aus b) und c) verwendet hast.

Begründen deine Wahl.

Lösungen mit Excel      Lösungen händisch

W4) In einer Fabrik wird Tafelglas hergestellt. Die Produktion ist auf drei Maschinen A, B und C zu 50%, 30% und 20% verteilt. Der Bruchglasanteil bei den einzelnen Maschinen beträgt 3%, 4% und 5%.

a) Stelle den Sachverhalt in einem Baumdiagramm übersichtlich dar.

b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine aus der Produktion entnommene Glasplatte gesprungen ist.

Im Zuge der Qualitätskontrollen werden auch die Dicken der Glasplatten überprüft. Eine Stichprobe von 20 Glasplatten ergab folgende Messungen (in mm):

4,20; 4,35; 3,75; 4,05; 4,00; 3,95; 3,80; 4,10; 3,60; 3,55; 4,10; 4,00; 4,40; 3,95; 4,05; 4,14; 3,85; 3,65; 4,30; 4,20.

c) Ermittle den Erwartungswert und die Standardabweichung. (auf 2 Dezimalen)

Angenommen, die Dicken aller Glasplatten der Produktion sind normalverteilt.

d) Gib das Konfidenzintervall an, in dem mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit die brauchbaren Glasplatten liegen.

e) Wie viele Glasplatten muss man mindestens überprüfen, damit die Wahrscheinlichkeit mindestens eine defekte zu erhalten, 90 % übersteigt? Verwende zur Berechnung den Ausschussanteil aus b).

f) Der Anteil an Ausschuss wird durch den Einsatz einer neuen Maschine auf 1% gesenkt. Wie hat sich der Erwartungswert bei gleichbleibender Standardabweichung und gleicher Toleranzgrenzen von ± 0,3 verschoben?

Lösungen mit Excel     Lösungen händisch

W5)

a) Die Ergebnisse einer Erhebung, die feststellen soll, ob das Alter eines Autofahrers einen Einfluss auf die Anzahl der Unfälle hat, in die er verwickelt ist, sind in der nachstehenden Tabelle dargestellt.

 

 

 

Alter des Fahrers

 

 

 

20 bis 35

 

36 bis 50

 

50 bis 65

 

Anzahl

der

Unfälle

 

0

 

748

 

821

 

786

 

1

 

76

 

59

 

50

 

2 und mehr

 

42

 

35

 

24

Teste bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% bzw. 1% die Hypothese, dass zwischen der Anzahl der Unfälle und dem Alter des Fahrers ein Zusammenhang besteht.

Führen die Berechnungen mit Excel und am Arbeitsblatt durch. Begründe deine Lösung mathematisch.

b) Bei einer verkehrspsychologischen Untersuchung an 12 Personen verschiedenen Alters wurden folgende Punktwerte in einer Reaktionstestserie ermittelt:

Alter                20     25      42     44      31     58     47    19    51     28    32    48

Punkte            48     53      47     45      50     28     40    47     42     50    51   46

Zeichnen ein Streudiagramm und berechne, ob das Punkteergebnis beim Test mit dem Alter korreliert, füge die Trendlinie ein.

Begründe deine Aussage.

c) Berechne die durchschnittlich erreichte Punktezahl beim verkehrspsychologischen Test der 12 Personen aus b) und die Standardabweichung.

Erfahrungsgemäß ist die erreichte Punktezahl normalverteilt.

d) Berechne, in welchem Intervall mit 95%iger Wahrscheinlichkeit die Punktewerte liegen.

e) Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass jemand bei der verkehrspsychologischen Prüfung weniger als 42 Punkte hat. Vergleiche mit der oben genannten Stichprobe von 12 Personen den tatsächlichen Anteil und nimm dazu Stellung.

Lösungen mit Excel    Lösungen händisch